En el contexto de la teoría de la medida, la medida de Dirac da lugar a la distribución por integración. En la teoría de las distribuciones, una función generalizada no se considera una función en sí misma, sino solo cómo afecta a otras funciones cuando se "integra" contra ellos. Como resultado, la última notación es un abuso conveniente de la notación y no una integral estándar (Riemann o Lebesgue). Para todas las funciones continuas admitidas de forma compacta f. La delta de Dirac no es una función en el sentido tradicional ya que ninguna función definida sobre los números reales tiene estas propiedades.
Por eso suele representarse como un pico con área total 111. La delta de Dirac se define como «límite distribucional» de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero caposino en todos los puntos de su dominio excepto uno. En física, la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a del eje horizontal. Ejemplo 3 Usar la función escalón \( u(t) \) para escribir ecuaciones a los gráficos mostrados a continuación y sus derivadas.
Aquí se supone que los valores propios son discretos, pero el conjunto de valores propios de un observable puede ser continuo en lugar de discreto. La función delta de Kronecker, que generalmente se define en un dominio discreto y toma los valores 0 y 1, es el análogo discreto de la función delta de Dirac. Como otro ejemplo, la ecuación que gobierna la deflexión estática de una viga esbelta es, según la teoría de Euler-Bernoulli, Se necesitan más condiciones en el ηε, por ejemplo, que sea un suavizante asociado a una función compatible de forma compacta, para garantizar la convergencia puntual en casi todas partes.
Un enfoque riguroso para considerar la función delta de Dirac como un objeto matemático por derecho propio requiere la teoría de la medida o la teoría de las distribuciones. La delta de Dirac no es realmente una función, al menos no una habitual con dominio y rango en números reales. La gráfica del delta de Dirac generalmente se considera que sigue el eje x completo y el eje y positivo. Su validez fue discutida hasta que Laurent Schwartz desarrolló la teoría de las distribuciones donde se define como una forma lineal que actúa sobre funciones.
